рус | укр

Главная

Контакты

Навигация:
Арсенал
Болезни
Витамины
Вода
Вредители
Декор
Другое
Животные
Защита
Комнатные растения
Кулинария
Мода
Народная медицина
Огород
Полесадник
Почва
Растения
Садоводство
Строительство
Теплицы
Термины
Участок
Фото и дизайн
Хранение урожая









Армирование баллона давления, образованного намоткой. Целевая функция: масса конструкции (рис.1)

Целевая функция: масса конструкции (рис.1)

φ – угол укладки

dS – дуга по меридиану

Пусть задана мощность армирования: nf

f – площадь нити;

n – число нитей, проходящих через сечение оболочки.

Тогда масса конструкции будет равна:

, φ = - плотность, 1 г/см3 = 1 т/м3.

Масса конструкции зависит от некоторой неизвестной функции Ф®. Пространство проектирования может быть задано . Здесь две функции и в решении задачи. В решении задачи оптимизации используется аппарат оптимального управления.

Формулировка ограничений:

Расчетная схема – безмоментная оболочка. Один слой (косой).

Для осесимметричной задачи. Имеет уравнение равновесия:

p – компоненты поверхностной нагрузки

R1 и R2 – главные радиусы кривизны

Для кососимметричной:

p – компоненты поверхностной нагрузки

Выберем модель материала. Примем нитяную структуру. Связующее обеспечивает только межслоевое взаимодействие. Введем технологические ограничения, связанные с непрерывностью намотки. Изменение толщины оболочки

; hI по меридиану.

Будем рассматривать два слоя +φ и –φ (рис. 2)

В пределах слоев:

или

Эти соотношения описывают модель материала.

Уравнения равновесия могут быть рассмотрены для каждого слоя в отдельности

- величина, связанная с проскальзыванием слоев друг относительно друга при сдвиговых деформациях, т.е. , т.к. нити стремятся повернуться, но не сместиться.

Аналогично рассмотрим . В сумме и дадут суммарную поверхностную нагрузку. Если нагрузкой для конструкции будет внутреннее давление, то pα = 0. Иначе , т.е. нагрузка самоуравновешивается.

Для конструкции баллона давления суммарные усилия Nα и Nβ известны:

(2)

С другой стороны через усилие в нитях можно получить

из (2)

(I) (3)

знак минус ставится перед выражением pR2, т. К. тангенс угла наклона касательной тоже есть отрицательная величина.

Получаем первое ограничение – условие прочности материала.

Nα и Nβ воспринимаются одними и теми же напряжениями σ1. Поэтому они не могут быть независимыми. Найдем эту зависимость. Из условия (1)

(4)

Это следствие того, что конструкция образована системой нитей

С другой стороны из уравнений (2) для баллона давления

(II) (5)

Второе ограничение определяет условие существования нитяной конструкции материала.

Для сдвигового усилия в соотношении (1) вместо σ1 подставим его значение из ограничения (I)

Из второго уравнения равновесия с учетом

После операции дифференцирования над скобкой, получим

,

это слагаемое

из соотношения (5) можем получить

, тогда получим

и тогда τсдв примет вид

или

или

 

Получаем третье ограничение:

(III) (6)

Если негеодезическая намотка, необходимо, что бы нить не соскальзывала с оправки

θ – угол отклонения от геодезической намотки

Известно:

, где Rn – нормальная кривизна поверхности, Rg – геодезическая кривизна.

Кроме того:

Раскрывая значения R1, R2 и

- четвертое ограничение (IV) (7)

Таким образом, задача оптимизации баллона давления полностью поставлена.

Целевая функция:

Толщина известна, как только известна форма баллона:

(8)

Математическая задача сводится к синтезу оптимальной траектории, состоящей из отрезков граничных и внутренних экстремалей.

Внутренней экстремалью называется то, что дает минимум целевой функции без каких – либо ограничений. В нашем случае – это отсутствие массы и, стало быть, конструкции.

Граничная экстремаль – функция, обращающая соответствующие неравенства в равенства.

Второе ограничение представлено в виде равенства. С его помощью можно понизить порядок задачи, исключив из параметров проектирования форму оболочки. Синтез отрезков граничных экстремалей даст оптимальную траекторию. Будут точки переключения с одной доминирующей экстремали на другую. Имеем три граничных экстремали. Ставится задача: найти точки переключения с одной экстремали на другую. Точка переключения, где экстремаль (одна из границ) не выполняется. Движение осуществляется по этой экстремали.

Начнем с уравнения равнопрочности (условие I) в совокупности с уравнением существования конструкции.

- это уравнение равнопрочной экстремали (9)

в пространстве проектирования

или

или

или

Это – теорема Клеро, т.е. условие намотки по геодезическим линиям.

Начиная процедуру оптимального проектирования, движемся по траектории укладки по равнопрочной линии (геодезической линии), проверяя, как выполняются другие ограничения.

Рассмотрим третье ограничение по касательным напряжениям , но из условия равнопрочности экстремали (9) , т.е. намотка по геодезическим линиям обеспечивает автоматическое выполнение условия и дает условие несоскальзывания с поверхности. Синтез оптимальной траектории закончен. Эта траектория автомодельна, т.е. не зависит от нагрузки, так как нагрузка p в уравнении сократилась.

 

 

Оптимальное армирование двухслойной цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением p=const

 

Расчетной схема – безмоментная оболочка (рис. 3). Модель материала – нитяная.

Усилия

Уравнения равновесия для каждого слоя

Условие непрерывности намотки – технологические ограничения

Необходимо найти: nf (число), закон изменения угла армирования по длине оболочки, толщину кольцевой подмотки hk(y)

Целевая функция

Ограничения: по прочности спиральных и кольцевых слоев, по касательному взаимодействию, несоскальзывание нити при намотке .

Математическая запись ограничений:

Уравнения равновесия:

1условие прочности

 

Из уравнения (4)

Тогда: или

Второе ограничение по прочности

Известно, что

Выясним, будут ли проскальзывать спираль слоев друг относительно друга?

-проскальзывания нет

имеем - здесь возникают напряжения между слоями, поэтому имеем ограничения по прочности связующего

Рассмотрим ограничение на условие несоскальзывания

Для цилиндрической оболочки нормальный радиус кривизны

( к касательной пространственной кривой)

Геодезическая кривизна для цилиндрической оболочки

, таким образом

, где

Km – коэффициент трения нити о поверхность или коэффициент вязкости связующего

Условие на существование конструкции, . Теперь поставлены все условия и задача определена полностью.

Внутренние экстремали, собирающие М→min без ограничений: .

Комплекс граничных экстремалей:

Пусть и первое условие прочности дает

из второго условия прочности

Ограничение по прочности при межслоевом сдвиге:

при y=0, φ=φ1

Таким образом - равнопрочность при межслоевом сдвиге

Определим предельное отклонение от геодезической намотки

Интегрируя, получим

при y=0, φ=φ1 и

или

 

 

Построение траектории укладки нити на поверхности, дающую минимум массы.

Определим φ=φ(y)

 
φ21, тогда , то nf – max.

Условие построение равнопрочной траектории

1

Ограничением c) по сдвигу пренебрегаем. Из последнего ограничения d) определим

2

Траектория состоит из двух участков с одной точкой переключения: y* (рис. 4)

1 – равнопрочная траектория

2 – линия предельного отклонения – ЛПО

Условие по межслоевому сдвигу проверяется в каждой точке экстремали и, как правило, заведомо выполнено, для малых величин коэффициента трения nf найдено; φ(y) тоже, а толщина кольцевой подмотки однозначно определяется законом армирования:

После определения мощности армирования по формуле . Начнем с φ=φ1 для каждого y, проверяя выполнение ограничений. Начальный участок – движение по ЛПО в сторону увеличения угла армирования, если φ1< φ2. При этом при выбранном nf и (как правило) для малых (траектория меняется не сильно). Так происходит до тех пор, пока не станет равным . Это равенство определит точку переключения экстремали ЛПО на равнопрочную.

Толщина кольцевой подмотки однозначно определяется выбранным законом армирования. Показателем качества проекта будет площадь под кривой закона армирования: чем она больше, тем лучше.

 

Тема 14. 9. Оптимальное армирование оболочек заданной формы(4 ч.)

Понятие зонной намотки (рис. 5). В районе фланца при увеличении p резко начинает расти толщина при . Для оболочек из КМ в районе днища характерно: с увеличением h - уменьшается, т.к. наплыв из нитей образует как бы жесткое кольцо и не дает свободу перемещения в месте отверстия, что приводит к большой перерезывающей силе. И при росте p и раздувании оболочки это место проваливается внутрь. Вывод: растет при уменьшении толщины у фланца. Поэтому, чтобы не было этого наплыва необходимо разнести его с помощью нескольких семейств нитей с разными углами намотки в зоне экватора. Это называется зонной намоткой.

Рассмотрим вопрос подбора зон намотки для того, чтобы добиться совпадения оптимальной формы днища с заданной (рис. 6). Каждая зона характеризуется своим полюсным отверстием, из чего однозначно определяется угол намотки на экваторе и закон укладки нити . Управляемые параметры:

Рассмотрим основные соотношения многозонной намотки (рис. 7). Проектируемая оболочка должна быть безмоментной. В этом случае статические соотношения

В пределе

Для равнопрочной конструкции и сложив , получим

Введем новую переменную: угол φ

.

 

Приведем последовательность преобразований формул для получения разрешающего уравнения.

 

1)

2)

3)

4)

5)

6)

 

 

Рассмотрим решение для оболочки сферической формы. Для сферической оболочки толщина стенки из условия прочности равна .

Примем , тогда

- минимальный угол армирования на экваторе

Введем , тогда

, где

Его решение имеет вид

или возвращаясь к переменным и , получим

Решение имеет вид для сферы

Отсюда

- соответствует суммарной толщине слоев с углами армирования от до , а изменяется непрерывно от до .

Заменяя через , получим

или

Для конической оболочки

Реализация этой формулы приведена на рисунке 8. В каждой зоне число ниток одинаково, тогда nf разбивается на одинаковые участки. Принимаем . Все зоны будут равностоять друг от друга. По значению однозначно определяем угол армирования.

по находим

Таким образом, можно создавать конструкции больших давлений, когда каждый слой на экваторе имеет свою толщину и необходимо уложить несколько элементарных слоев (n 4), полностью покрывающих поверхность. Нельзя оставить зазоры между лентами. При малых членах зон (4, 5, 6) оптимальная форма корректируется по методике конечно-зонной оболочки.

 

 

Тема 15. 10. Проектирование РДТТ методом намотки совместно с сопловым блоком (4 ч.)

 

Рассмотрим баллон давления, образованного одним семейством нитей (рис. 9). Задача: найти форму безмоментной равнопрочной оболочки .

Равновесие отсеченной части в направлении y

(1)

Связь между напряжением в нити и усилиями

Условие непрерывности намотки

Равновесная форма оболочки при произвольном законе укладки ленты из (1) (используем метод оптимального управления).

(2)

Известны аналитические решения этого уравнения.

При геодезической намотке ;

при - нить касается параллели и образует отверстие .

Преобразуем (2) при p=const

, где

, тогда (2) принимает вид

(3)

Проинтегрируем, принимая

С1 определяется из условия при

с учетом направления координат имеет знак минимума.

- решение в эллиптическом интеграле

Определим значение r в знаменателе, когда выражение под корнем =0.

- корни уравнения

, тогда

(4)

при или

В этих точках образующая имеет вертикальную касательную (рис.10). Исследуя решение, можно показать, что - максимальное и минимальное расстояние точек на образующей от оси вращения. - оказывается мнимой.

Рассмотрим крайние значения разрушающей силы Q. Ограничимся случаями, когда отверстие в полюсе закрыто силовой крышкой, либо контур отверстия свободен (Q=0). Если осевая сила меняет знак, то такие контуры изготовить методом намотки невозможно. Приведем все выражение к безразмерному виду, отнеся все величины к радиусу днища на экваторе – a.

, когда

(5)

(6)

Если полюсное отверстие закрыто силовой крышкой, получается как частный случай (5) и (6), если положить , тогда

(7)

(8)

Если при , тогда

Интегрируя (5), получим

При интеграл сходится, но в конечном виде через элементарные функции не выражается. Если обозначить

Подстановкой

(9)

 

интеграл сводится к эллиптическим интегралам

Окончательно

(10)

Здесь

- эллиптический интеграл 1 рода

- эллиптический интеграл 2 рода

Из (9) определим

(11)

С2 находится из условия при

Форма оболочки определяется формулами (10) и (11).

Закрытое отверстие:

Свободное отверстие в полюсе днища:

- определяет минимальное расстояние образующей наматываемой оболочки до оси вращения. Только в случае оболочки со свободным отверстием ( ) эта образующая будет касаться края полюсного отверстия. Во всех остальных случаях (рис 1). Поэтому появляется необходимость достраивать образующую таким образом, чтобы было обеспечено построение днища с заданным отверстием в полюсе.

Рассмотрим достроение формы днища в области . Пусть наибольший радиус фланца равен (точка перегиба или задается из конструктивно-технологических соображений). Точка « » определяется условием . Тогда из (3) при

(12)

В случае закрытого полюсного отверстия ( ) получаем

и для свободного отверстия ( ) получаем в результате

Рассмотрим схему нагружения в районе фланца (рис. 11).

Отделяя часть оболочки от фланца, составим уравнение равновесия отсеченной части. В первом приближении, ввиду малого наклона образующей и сравнительно небольших размеров консоли фланца , будем считать, что реактивное давление и будем пренебрегать касательной нагрузкой, тогда

Получим

Будем считать, что при образующая определяется уравнением типа (10) и (11), а при нагружена равномерным давлением . Так как контур отверстия не нагружен, образующую можно определить. Повторив все предыдущие рассуждения и считая , тогда из (4) будем иметь

(13)

найдем из уравнения сопряжения двух частей оболочки

Тогда

(14)

Разлагая знаменатель на множители, после сокращения, получим

(15)

Где определяются выражением

Вводя обозначения , (15) запишется

На участке образующая описывается

Интеграл сводится к эллиптическим интегралам.

После интегрирования получим

- эллиптические интегралы 1 и 2 рода

- модуль эллиптического интеграла

находим из условия сопряжения двух частей оболочки

Окончательно

(16)

Здесь вспомогательные углы определяются условиями

Форма образующей для закрытого полюсного отверстия на дополнительном участке вытекает как частный случай из условия (15), если считать .

(17)

 

Для свободного отверстия в полюсе их этих же формул как частный случай при следует, что дополнительная образующая определяется по тем же формулам, что и основной.

 

Пример : Проектирование днища РДТТ с полюсным отверстием, нагруженным осевой силой Q.

Параметры оболочки:

  1. Определим границу между двумя участками образующей

  1. Строим образующую на участке

а) подсчитываем необходимее величины

б) определяем модуль эллиптических интегралов

в) определяем граничные значения вспомогательного угла

г) вычисляем координаты точек образующей в зависимости от вспомогательного угла

Расчет сводится в таблицу

0,7889*(2) 1,448*(4) 0,8119*(7) (1)-(8)
                 
До                  

 

  1. Строим образующую на участке фланца

а) подсчитаем величины

б) определим модуль эллиптических интегралов

 

в) вычисляем координаты точек образующей в зависимости от вспомогательного угла

Строится форма днища

Толщина для однозонной оболочки меняется согласно

Проектная толщина

Или из условия непрерывности

- это соотношение не учитывает, что намотка осуществляется лентой конечной ширины l и справедливо . При нагружении равновесной оболочки угол не изменяется. Образующая днища под нагрузкой определяется уравнениями (10), (11), в которых следует умножить на .

Расчет заматываемого фланца(Рис. 11)

Расчет заматываемого фланца необходимо вести как круговую пластину переменной толщины. Такой расчет сводится к интегрированию уравнения с переменными коэффициентами. Упрощенно, но с достаточной степенью точностью решение можно получить, если в уравнении равновесия кольцевой пластинки пренебречь моментами в кольцевом направлении. Тогда уравнение равновесия принимает вид:

Перерезывающая сила найдется из условия

Наибольшие напряжения будут по внутренней окружности фланца при и равно

 

 

Просмотров: 275

Вернуться в категорию: Строительство

© 2013-2017 cozyhomestead.ru - При использовании материала "Удобная усадьба", должна быть "живая" ссылка на cozyhomestead.ru.